Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{2} + 2 x + 11}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(2 x + 3) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $2 x + 3$ .

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.5.2

Divisez $2 x^{2} + 2 x + 11$ par $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 3$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{A (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.6.1.2

Divisez $(A) (x^{2} + 4)$ par $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.6.3

Déplacez $4$ à gauche de $A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.6.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 1.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Étape 1.1.6.4.2

Divisez $(B x + C) (2 x + 3)$ par $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (2 x + 3)$

Étape 1.1.6.5

Développez $(B x + C) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x + 3) + C (2 x + 3)$

Étape 1.1.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x + 3)$

Étape 1.1.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Étape 1.1.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x \cdot x + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Étape 1.1.6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.6.2.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B (x \cdot x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Étape 1.1.6.6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Étape 1.1.6.6.3

Déplacez $3$ à gauche de $B x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 \cdot (B x) + C (2 x) + C \cdot 3$

Étape 1.1.6.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + C \cdot 3$

Étape 1.1.6.6.5

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Étape 1.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.7.1

Déplacez $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Étape 1.1.7.2

Déplacez $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 3 C$

Étape 1.1.7.3

Déplacez $4 A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 4 A + 3 C$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = A + 2 B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$11 = 4 A + 3 C$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $2 = A + 2 B$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + 2 B = 2$ .

$A + 2 B = 2$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $2 B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $2 - 2 B$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $11 = 4 A + 3 C$ par $2 - 2 B$ .

$11 = 4 (2 - 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$11 = 4 \cdot 2 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$11 = 8 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.3

Remettez dans l’ordre $2$ et $- 2 B$ .

$A = - 2 B + 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.4

Résolvez $B$ dans $A = - 2 B + 2$ .

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Étape 1.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 B + 2 = A$ .

$- 2 B + 2 = A$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 B = A - 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.4.3

Divisez chaque terme dans $- 2 B = A - 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 B = A - 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.4.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - \frac{A}{2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.4.3.3.1.2

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- \frac{A}{2} + 1$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $11 = 8 - 8 B + 3 C$ par $- \frac{A}{2} + 1$ .

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.5.2.1

Simplifiez $8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$ .

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Étape 1.3.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{A}{2}$ dans le numérateur.

$11 = 8 - 8 \frac{- A}{2} - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$11 = 8 + 2 (- 4) (\frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$11 = 8 + 2 \cdot (- 4 \frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.2

Associez les termes opposés dans $8 + 4 A - 8 + 3 C$ .

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Étape 1.3.5.2.1.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$11 = 4 A + 0 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.2.1.2.2

Additionnez $4 A$ et $0$ .

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Étape 1.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $2 = 3 B + 2 C$ par $- \frac{A}{2} + 1$ .

$2 = 3 (- \frac{A}{2} + 1) + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.5.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 = 3 (- \frac{A}{2}) + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.5.4.1.2

Multipliez $3 (- \frac{A}{2})$ .

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Étape 1.3.5.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 = - 3 \frac{A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.5.4.1.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{A}{2}$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.5.4.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.5.4.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6

Résolvez $C$ dans $2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$ .

$- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1

Ajoutez $\frac{3 A}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 + 2 C = 2 + \frac{3 A}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 C = 2 + \frac{3 A}{2} - 3$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.2.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.3

Divisez chaque terme dans $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$C = \frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.3.3.1.2

Multipliez $\frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{3 A}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$C = \frac{3 A}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.6.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $11 = 4 A + 3 C$ par $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1

Simplifiez $4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4}) + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.1.2

Multipliez $3 \frac{3 A}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{3 A}{4}$ .

$11 = 4 A + \frac{3 (3 A)}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.1.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.1.3

Multipliez $3 (- \frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.1.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.2

Pour écrire $4 A$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$11 = 4 A \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.3.1

Associez $4 A$ et $\frac{4}{4}$ .

$11 = \frac{4 A \cdot 4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.4.1.1

Factorisez $A$ à partir de $4 A \cdot 4 + 9 A$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1.4.1.1.1

Factorisez $A$ à partir de $4 A \cdot 4$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.4.1.1.2

Factorisez $A$ à partir de $9 A$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + A \cdot 9}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.4.1.1.3

Factorisez $A$ à partir de $A (4 \cdot 4) + A \cdot 9$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.4.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$11 = \frac{A (16 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.4.1.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.7.2.1.4.2

Déplacez $25$ à gauche de $A$ .

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8

Résolvez $A$ dans $11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$ .

$\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.1

Ajoutez $\frac{3}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{25 A}{4} = 11 + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.2.2

Pour écrire $11$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = 11 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.2.3

Associez $11$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.5.1

Multipliez $11$ par $2$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{22 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.2.5.2

Additionnez $22$ et $3$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.1.1

Simplifiez $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.1.1.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25 A$ .

$\frac{1}{25} \cdot (25 (A)) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.2.1

Simplifiez $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A = \frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$A = \frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.8.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $2$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ par $2$ .

$C = \frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.2.1

Simplifiez $\frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.2.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$C = \frac{6}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2.1.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$C = \frac{2 (3)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{3 - 1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2.1.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.2.1.4.1

Soustrayez $1$ de $3$ .

$C = \frac{2}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.2.1.4.2

Divisez $2$ par $2$ .

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Étape 1.3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $B = - \frac{A}{2} + 1$ par $2$ .

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Étape 1.3.9.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.4.1

Simplifiez $- \frac{2}{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Étape 1.3.9.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Étape 1.3.9.4.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Étape 1.3.9.4.1.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

Étape 1.3.10

Indiquez toutes les solutions.

$B = 0, C = 1, A = 2$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Étape 1.5.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\int \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x + 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 7.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $4$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$\ln (| u |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$\ln (| 2 x + 3 |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$