Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} + 2 x}}{x}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + 2 x}}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + x \cdot 2}}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x) + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x + 2)}}{x}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{1}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{1}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 5.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{1}$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Divisez $5 + 2 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{5 + 2 \cdot 0}}{1}$

Étape 9.3.2

Divisez $\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$ par $1$ .

$\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$

Étape 9.3.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sqrt{5 + 0}$

Étape 9.3.4

Additionnez $5$ et $0$ .

$\sqrt{5}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{5}$

Forme décimale :

$2.23606797 \dots$