Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{(x^{3} + 1)}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{2}}{1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}}$ et $\ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)$ sur $e^{2}$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} {(e^{2})}^{3} + \ln (| e^{2} |)) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{2 \cdot 3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{3} e^{6} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$

Étape 6.2.2.5

Pour écrire $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Étape 6.2.2.6

Associez $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Étape 6.2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{6} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Étape 6.2.2.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

$e^{2}$ est d’environ $7.38905609$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (e^{2})$

Étape 7.2

Développez $\ln (e^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \ln (e)$

Étape 7.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \cdot 1$

Étape 7.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Forme décimale :

$136.14293116 \dots$

Étape 9