Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \arctan (y)$ et $g (y) = 4 x^{2} - 3$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 3.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Additionnez $8 x x'$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

Étape 3.7.2

Associez $8$ et $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

Étape 3.7.3

Associez $x$ et $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

Étape 3.7.4

Associez $\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ et $x'$ .

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Étape 3.7.5

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.2.1

Réécrivez ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ comme $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Étape 3.8.2.2

Développez $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.8.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Étape 3.8.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Étape 3.8.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.2.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Étape 3.8.2.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Étape 3.8.2.3.2

Soustrayez $12 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Étape 3.8.2.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Étape 3.8.2.5

Factorisez $2$ à partir de $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

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Étape 3.8.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Étape 3.8.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Étape 3.8.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Étape 3.8.2.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Étape 3.8.2.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Étape 3.8.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 3.8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x x'$ .

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Étape 3.8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Étape 3.8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ par $1$ .

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ par $4 x$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ par $4 x$ .

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{4}$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{4}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.2.2.5

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.4.3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

Étape 5.4.3.1.4.2.5

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$