Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{4 \sqrt{x}} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - x^{2} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{4 \sqrt{x}} - x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$