Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cos (0) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cos (0) + \frac{0 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cos (0) + \frac{0 - 1 \cdot 4}{0^{2} + 1}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \cos (0) + \frac{0 - 4}{0^{2} + 1}$

Étape 11.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$2 \cos (0) + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

Étape 11.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

Étape 11.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

Étape 11.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 + \frac{- 4}{0 + 1}$

Étape 11.3.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 + \frac{- 4}{1}$

Étape 11.3.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$2 - 4$

Étape 11.4

Soustrayez $4$ de $2$ .

$- 2$