Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 t^{3} + 1}{{(t^{4} + 2 t)}^{3}} d t$

Étape 1

Laissez $u = t^{4} + 2 t$ . Alors $d u = (4 t^{3} + 2) d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = (2 t^{3} + 1) d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = t^{4} + 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $t^{4} + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 2 t]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + 2 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 t^{3} + 2 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 t^{3} + 2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ comme $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Étape 6.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{4} + 2 t$ .

$- \frac{1}{4 {(t^{4} + 2 t)}^{2}} + C$