Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{4^{2 a x}} d x$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Inversez l’exposant de $4^{2 a x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(4^{2 a x})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(4^{2 a x})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 4^{2 a x \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int 1 \cdot 4^{- 2 a x} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $4^{- 2 a x}$ par $1$ .

$\int 4^{- 2 a x} d x$

Étape 2

Laissez $u = - 2 a x$ . Alors $d u = - 2 a d x$ , donc $\frac{1}{- 2 a} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - 2 a x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- 2 a x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 a x]$

Étape 2.1.2

Comme $- 2 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 a x$ par rapport à $x$ est $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 a \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 a \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 a$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 4^{u} \cdot \frac{1}{- 2 a} d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 4^{u} \cdot (- \frac{1}{2 a}) d u$

Étape 3.2

Associez $4^{u}$ et $\frac{1}{2 a}$ .

$\int - \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{4^{u}}{2 a} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2 a}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2 a}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2 a} \int 4^{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $4^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{4^{u}}{\ln (4)}$ .

$- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{2 a} (\frac{4^{u}}{\ln (4)} + C)$ comme $- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2 a} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (4)}$ par $\frac{1}{2 a}$ .

$- \frac{1}{\ln (4) (2 a)} \cdot 4^{u} + C$

Étape 7.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (4)$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \ln (4) a} \cdot 4^{u} + C$

Étape 7.2.3

Associez $4^{u}$ et $\frac{1}{2 \ln (4) a}$ .

$- \frac{4^{u}}{2 \ln (4) a} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 a x$ .

$- \frac{4^{- 2 a x}}{2 \ln (4) a} + C$