Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x + 2} d x$

Étape 3

Divisez $x - 1$ par $x + 2$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x$

$1$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$1$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$2$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$2$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$2$
					-	$3$

Étape 3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{3}{x + 2} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \frac{3}{x + 2} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - (3 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Étape 8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x + C - 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 9

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 9.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x + C - 3 (\ln (| u |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$x - 3 \ln (| u |) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$x - 3 \ln (| x + 2 |) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $x - 3 \ln (| x + 2 |) + C$