Calcul infinitésimal Exemples

$(- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$

Étape 1

Écrivez $(- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$ comme une fonction.

$f (x) = (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x d x$

Étape 4

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) x d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3}) x - 15 x d x$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6}) x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5}} x + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int - 9 (x^{\frac{4}{5}} x^{1}) + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5} + 1} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$d \int - 9 x^{\frac{4 + 5}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.8

Additionnez $4$ et $5$ .

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 (x^{- 6} x^{1}) + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 6 + 1} + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.11

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{3} x - 15 x d x$

Étape 5.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 (x^{3} x^{1}) - 15 x d x$

Étape 5.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{3 + 1} - 15 x d x$

Étape 5.14

Additionnez $3$ et $1$ .

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{4} - 15 x d x$

Étape 5.15

Remettez dans l’ordre $- 9 x^{\frac{9}{5}}$ et $3 x^{- 5}$ .

$d \int 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} + 9 x^{4} - 15 x d x$

Étape 5.16

Déplacez $- 9 x^{\frac{9}{5}}$ .

$d \int 3 x^{- 5} + 9 x^{4} - 9 x^{\frac{9}{5}} - 15 x d x$

Étape 5.17

Remettez dans l’ordre $3 x^{- 5}$ et $9 x^{4}$ .

$d \int 9 x^{4} + 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} - 15 x d x$

Étape 5.18

Déplacez $- 9 x^{\frac{9}{5}}$ .

$d \int 9 x^{4} + 3 x^{- 5} - 15 x - 9 x^{\frac{9}{5}} d x$

Étape 5.19

Déplacez $3 x^{- 5}$ .

$d \int 9 x^{4} - 15 x + 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\int 9 x^{4} d x + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$d (9 \int x^{4} d x + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 9

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 15$ en dehors de l’intégrale.

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 \int x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 13.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 13.3

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 13.4

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 14

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 9$ en dehors de l’intégrale.

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 \int x^{\frac{9}{5}} d x)$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{9}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{14} x^{\frac{14}{5}}$ .

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 (\frac{5}{14} x^{\frac{14}{5}} + C))$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{5}{14}$ et $x^{\frac{14}{5}}$ .

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 (\frac{5 x^{\frac{14}{5}}}{14} + C))$

Étape 16.2

Simplifiez

$d (\frac{9 x^{5}}{5} - \frac{15 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45 x^{\frac{14}{5}}}{14}) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$d (\frac{9}{5} x^{5} - \frac{15}{2} x^{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45}{14} x^{\frac{14}{5}}) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$ .

$F (x) =$ $d (\frac{9}{5} x^{5} - \frac{15}{2} x^{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45}{14} x^{\frac{14}{5}}) + C$