Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{9}{θ^{2}} \cos (\frac{9}{θ}) d θ$

Étape 1

Associez $\frac{9}{θ^{2}}$ et $\cos (\frac{9}{θ})$ .

$\int \frac{9 \cos (\frac{9}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Étape 2

Comme $9$ est constant par rapport à $θ$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{\cos (\frac{9}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Étape 3

Laissez $u = \frac{9}{θ}$ . Alors $d u = - \frac{9}{θ^{2}} d θ$ , donc $1 d u = - \frac{9}{θ^{2}} d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \frac{9}{θ}$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{9}{θ}$ .

$\frac{d}{d θ} [\frac{9}{θ}]$

Étape 3.1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $\frac{9}{θ}$ par rapport à $θ$ est $9 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Étape 3.1.3

Réécrivez $\frac{1}{θ}$ comme $θ^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 (- θ^{- 2})$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 θ^{- 2}$

Étape 3.1.6

Simplifiez

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Étape 3.1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{θ^{2}}$

Étape 3.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 3.1.6.2.1

Associez $- 9$ et $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\frac{- 9}{θ^{2}}$

Étape 3.1.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{θ^{2}}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int - \frac{1}{9} \cos (u) d u$

Étape 4

Comme $- \frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (- \frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 (\frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $- 9$ .

$\frac{- 9}{9} \int \cos (u) d u$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9} \int \cos (u) d u$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int \cos (u) d u$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int \cos (u) d u$

Étape 5.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int \cos (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$- \sin (u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{9}{θ}$ .

$- \sin (\frac{9}{θ}) + C$