Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2^{4 x^{2}} x d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x^{2}$ . Alors $d u = 8 x d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2^{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 2

Associez $2^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{2^{u}}{8} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int 2^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $2^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{8} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ comme $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{8 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{8 \ln (2)} \cdot 2^{4 x^{2}} + C$