Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x + 2)}^{2} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x + 2)}^{2} x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int {(x + 2)}^{2} x^{- 4} d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = x + 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u_{1} = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 2)}^{- 4} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = u_{1} - 2$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{2} = u_{1} - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} - 2$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Étape 6.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {(u_{2} + 2)}^{2} {u_{2}}^{- 4} d u_{2}$

Étape 7

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Différenciez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 7.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5} d u_{3}$

Étape 8.2

Associez $\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2}$ et ${\sqrt{u_{3}}}^{- 5}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5}}{2} d u_{3}$

Étape 8.3

Placez ${\sqrt{u_{3}}}^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{5}} d u_{3}$

Étape 8.4

Réécrivez ${\sqrt{u_{3}}}^{5}$ comme $\sqrt{{u_{3}}^{5}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

Étape 10

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

Étape 10.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{u_{3}}^{5}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}} d u_{3}$

Étape 10.3

Retirez ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Étape 10.4

Multipliez les exposants dans ${({u_{3}}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Étape 10.4.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Étape 10.4.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 5}{2}} d u_{3}$

Étape 10.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Réécrivez ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}$ comme $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)$ .

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) + 2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.8

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.12.1

Annulez le facteur commun.

Étape 11.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.13

Simplifiez

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.14

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.16

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.18

Soustrayez $5$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1 - 5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.21

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 4}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.22

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.22.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.22.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 2}{1}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.22.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1 - 5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.25

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 4}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.26

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.26.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.26.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 2}{1}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.26.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.27

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.28

Additionnez $2 {u_{3}}^{- 2}$ et $2 {u_{3}}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 11.29

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{- 3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 13

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int 4 {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 14

Comme $4$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (4 \int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- 2}$ par rapport à $u_{3}$ est $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 16

Comme $4$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 \int {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 17

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{5}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $- \frac{2}{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Associez ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{{u_{3}}^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 18.2

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2 \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 18.3

Placez ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Étape 19

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} + C) - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C)$

Étape 20

Simplifiez

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{u_{3}} - \frac{8}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 21

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{u_{2}}^{2}} - \frac{8}{3 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 21.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} - 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(u_{1} - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(u_{1} - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(u_{1} - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 21.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(x + 2 - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Associez les termes opposés dans $- \frac{4}{{(x + 2 - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.1.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.1.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.1.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 22.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Étape 22.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Étape 22.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{1}}) + C$

Étape 22.2.2.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.4.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 2)}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{3 x^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 8}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 4)}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Étape 22.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C$

Étape 22.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C$

Étape 22.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C$

Étape 22.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

Étape 22.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

Étape 22.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

Étape 22.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} - \frac{1}{x} + C$

Étape 23

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} - \frac{1}{x} + C$