Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x \sin (π x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = π x^{2}$ . Alors $d u = 2 \cdot x π d x$ , donc $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = π x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x^{2}$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$π (2 x)$

Étape 1.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π x$

Étape 1.1.5

Remettez dans l’ordre $2 π$ et $x$ .

$x (2 π)$

Étape 1.1.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$2 \cdot x π$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 0^{2}$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Étape 1.3.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 1^{2}$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = π \cdot 1$

Étape 1.5.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2 π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2 π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + 1)$

Étape 7

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Étape 7.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + 1)$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + 1)$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + 1)$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 2$

Étape 7.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Étape 7.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{π}$

Forme décimale :

$0.31830988 \dots$