Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (3 x) - x^{3}}{4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \tan (3 x) - x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \tan (3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} \tan (3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{3 \tan (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \tan (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 \tan (3 lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \tan (3 \cdot 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \tan (3 \cdot 0) - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{3 \tan (0) - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.7.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.7.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.7.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Étape 1.3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Étape 1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Étape 1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Étape 1.3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

Étape 1.3.7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3.8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) - 3 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.10.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (1 + 0) - 3 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.10.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{4 \ln (1) - 3 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.10.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.10.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Étape 1.3.10.1.6

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.10.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.11

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (3 x) - x^{3}}{4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x) - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x) - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \tan (3 x) - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \tan (3 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \sec^{2} (3 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.3.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (1 - 2 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.8

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.9

Associez $\frac{1}{1 - 2 x}$ et $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 \frac{- 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (- \frac{2}{1 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.11

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- 4 \frac{2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.12

Associez $- 4$ et $\frac{2}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 4 \cdot 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.13

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.7.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 3 (3 x^{2})}$

Étape 3.8.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 9 x^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Associez des termes.

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Étape 3.9.1.1

Pour écrire $- 9 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Étape 3.9.1.2

Associez $- 9 x^{2}$ et $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{- 9 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}$

Étape 3.9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 8 - 9 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}$

Étape 3.9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} (- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)) \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 9

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 12

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 13

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 2 x + 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 15

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 16

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

Étape 17

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 9 x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Étape 18

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Étape 19

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 8}$

Étape 20

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 8}$

Étape 21

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Étape 22

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

Étape 23

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8}$

Étape 24

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Étape 25

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 25.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Étape 25.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Étape 25.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Étape 25.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

Étape 25.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Étape 26

Simplifiez la réponse.

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Étape 26.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 26.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Étape 26.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Étape 26.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 26.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Étape 26.2.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

Étape 26.2.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 8}$

Étape 26.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 8}$

Étape 26.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 - 1 \cdot 8}$

Étape 26.2.6

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 - 8}$

Étape 26.2.7

Soustrayez $8$ de $0$ .

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$(- 3 \cdot 0 + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.3.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$(0 + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.3.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$(0 + 9 \sec^{2} (0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.3.4

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$(0 + 9 \cdot 1^{2}) \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(0 + 9 \cdot 1) \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.3.6

Multipliez $9$ par $1$ .

$(0 + 9) \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.4

Additionnez $0$ et $9$ .

$9 \cdot \frac{1}{- 8}$

Étape 26.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \cdot (- \frac{1}{8})$

Étape 26.6

Multipliez $9 (- \frac{1}{8})$ .

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Étape 26.6.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 (\frac{1}{8})$

Étape 26.6.2

Associez $- 9$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 9}{8}$

Étape 26.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{8}$