Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 x^{2} - 7}}{x + 2}$ is

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $25$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $25$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Étape 2.7

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Étape 4.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{25 + 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $25$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{25}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5}{1}$

Étape 6.3

Divisez $5$ par $1$ .

$5$