Calcul infinitésimal Exemples

$5^{x} + 5^{y} = 10$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5^{x} + 5^{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

Étape 3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ .

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

Étape 5.1.2

Remettez dans l’ordre $y'$ et $5^{y}$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

Étape 5.1.3

Remettez dans l’ordre $5^{x} \ln (5)$ et $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ .

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Étape 5.2.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ .

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

Étape 5.4

Additionnez $- 5^{y} - 5^{x}$ et $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

Étape 5.5

Soustrayez $\ln (5)$ des deux côtés de l’équation.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.6.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.6.3.1.3

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.6.3.1.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$