Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{12 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 6}} d x$

Étape 1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 6}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{3} + 6$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{3} + 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{3} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 6]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.1.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt[3]{u}$ .

$12 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $12$ .

$\frac{12}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5.1.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$4 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $4 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $4 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$4 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.3.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 6$ .

$6 {(x^{3} + 6)}^{\frac{2}{3}} + C$