Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x^{3} - 8 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Étape 3

Développez $(4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 4 x^{3} x^{- 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 x^{3 - 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int 4 x^{1} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.5

Simplifiez

$\int 4 x - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 x - 8 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int 4 x - 8 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 4 x - 8 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.9

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\int 4 x - 8 + 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.10

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\int 4 x - 8 + x^{- 2} d x$

Étape 3.11

Déplacez $- 8$ .

$\int 4 x + x^{- 2} - 8 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 8 x + C$

Étape 10

Simplifiez

$2 x^{2} - \frac{1}{x} - 8 x + C$