Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = a^{4} + x^{4}$ . Alors $d u = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = a^{4} + x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{4} + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3

Comme $a^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a^{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $a^{4}$ et $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

Étape 1.5

Additionnez $a^{4}$ et $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $2 a^{4}$ et sur $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{4}$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (a^{4})$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3

Multipliez les exposants dans ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.9

Multipliez les exposants dans ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

Étape 6.2.9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

Étape 6.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

Étape 6.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

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Étape 7.2.1

Associez $2^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ et $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

Étape 7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

Étape 7.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$