Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (3 x)}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (3 x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3 x}$ et $x$ .

$\frac{\frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{1}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{d}{d x} [x]$ par $1$ .

$\frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (3 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \ln (3 x)}{x^{2}}$