Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin (x - 2 π)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x - 2 π)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x - 2 π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x - 2 π)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x - 2 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2 π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2 π$ .

$2 (\cos (x - 2 π) \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$2 \cos (x - 2 π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (x - 2 π) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 π])$

Étape 1.3.3

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \cos (x - 2 π) (1 + 0)$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \cos (x - 2 π) \cdot 1$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos (x - 2 π)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x - 2 π)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - 2 π)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x - 2 π))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x - 2 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2 π$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2 π$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x - 2 π) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\sin (x - 2 π) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 π))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 π))$

Étape 2.3.4

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 \cos (x - 2 π) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x - 2 π) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x - 2 π) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x - 2 π)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x - 2 π)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\cos (x - 2 π)$ par $1$ .

$\cos (x - 2 π) = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (x - 2 π) = 0$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x - 2 π = \arccos (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x - 2 π = \frac{π}{2}$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Ajoutez $2 π$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π + 4 π}{2}$

Étape 7.5.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x - 2 π = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x - 2 π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.1.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x - 2 π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - 2 π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 9.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x - 2 π = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x - 2 π = \frac{3 π}{2}$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Ajoutez $2 π$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π$

Étape 9.2.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.2.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π + 2 π \cdot 2}{2}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π + 4 π}{2}$

Étape 9.2.5.2

Additionnez $3 π$ et $4 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x - 2 π = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{2}, \frac{7 π}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin ((\frac{5 π}{2}) - 2 π)$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Pour écrire $- 2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 12.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Associez $- 2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \sin (\frac{5 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π - 4 π}{2})$

Étape 12.3.2

Soustrayez $4 π$ de $5 π$ .

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 12.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 13

$x = \frac{5 π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{2}$ est un maximum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin ((\frac{5 π}{2}) - 2 π)$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Pour écrire $- 2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 14.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Associez $- 2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 14.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 14.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π - 4 π}{2})$

Étape 14.2.3.2

Soustrayez $4 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 14.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \cdot 1$

Étape 14.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2$

Étape 14.2.6

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin ((\frac{7 π}{2}) - 2 π)$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Pour écrire $- 2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 16.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Associez $- 2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 16.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \sin (\frac{7 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 16.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π - 4 π}{2})$

Étape 16.3.2

Soustrayez $4 π$ de $7 π$ .

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 16.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.6

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Étape 16.6.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2$

Étape 17

$x = \frac{7 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7 π}{2}$ est un minimum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin ((\frac{7 π}{2}) - 2 π)$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Pour écrire $- 2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 18.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.2.1

Associez $- 2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 18.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π - 2 π \cdot 2}{2})$

Étape 18.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π - 4 π}{2})$

Étape 18.2.3.2

Soustrayez $4 π$ de $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 18.2.4

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 18.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 18.2.6

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Étape 18.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = - 2$

Étape 18.2.7

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 \sin (x - 2 π)$ .

$(\frac{5 π}{2}, 2)$ est un maximum local

$(\frac{7 π}{2}, - 2)$ est un minimum local

Étape 20