Calcul infinitésimal Exemples

$5 x + y - x^{2} = y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x + y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + y - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 + y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 + y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 + y' - (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 + y' - 2 x$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x + 5 + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 x + 5 + y' = 2 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x + 5 + y' - 2 y y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 + y' - 2 y y' = 2 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 2 y y' = 2 x - 5$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 2 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' = 2 x - 5$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) = 2 x - 5$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' (1 - 2 y) = 2 x - 5$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 y) = 2 x - 5$ par $1 - 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 y) = 2 x - 5$ par $1 - 2 y$ .

$\frac{y' (1 - 2 y)}{1 - 2 y} = \frac{2 x}{1 - 2 y} + \frac{- 5}{1 - 2 y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 2 y)}{1 - 2 y} = \frac{2 x}{1 - 2 y} + \frac{- 5}{1 - 2 y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{1 - 2 y} + \frac{- 5}{1 - 2 y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - 5}{1 - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 5}{1 - 2 y}$