Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Étape 1.2

Résolvez $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ par $\sec^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 1.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 1.2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1.3.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Étape 1.2.1.3.2

Séparez les fractions.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Étape 1.2.1.3.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 1.2.1.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Étape 1.2.1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.3.5.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 1.2.1.3.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 1.2.1.3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.2.1.3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 1.2.1.3.6

Séparez les fractions.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 1.2.1.3.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Étape 1.2.1.3.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Étape 1.2.1.3.9

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Étape 1.2.1.3.10

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.3.10.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Étape 1.2.1.3.10.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.1.3.10.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 1.2.1.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Étape 1.2.1.3.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Étape 1.2.1.3.11

Divisez $8$ par $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’équation comme $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Étape 1.2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $8 \cos^{3} (x)$ comme ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 1.2.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 \cos (x)$ et $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 1.2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Étape 1.2.6

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7

Définissez $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 1.2.7.2

Résolvez $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ pour $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Étape 1.2.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Étape 1.2.7.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.7.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.7.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.7.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.7.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.7.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.7.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.7.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.7.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ vraie.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Étape 1.2.10

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.10.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.10.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 1.2.10.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.10.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 1.2.10.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.10.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.10.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.10.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 1.2.10.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.10.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 1.2.10.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 1.2.10.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.10.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

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Étape 1.2.11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Étape 1.2.11.2

Le cosinus inverse de $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ est indéfini.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Étape 1.2.12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

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Étape 1.2.12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Étape 1.2.12.2

Le cosinus inverse de $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ est indéfini.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Étape 1.2.13

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.5

Indiquez toutes les solutions.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \frac{π}{3}$ et $\frac{π}{3}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Étape 3.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Étape 3.6

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Étape 3.8

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.9.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.1.1

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 3.9.1.2

Évaluez $\tan (x)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.2

Simplifiez

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Étape 3.9.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3

Simplifiez

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Étape 3.9.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.9.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.6

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.9.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.9

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Étape 3.9.3.10

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Étape 3.9.3.11

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Étape 3.9.3.12

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 3.9.3.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Étape 3.9.3.12.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Étape 3.9.3.13

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Étape 3.9.3.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Étape 3.9.3.15

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$10.39230484 \dots$

Étape 5