Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} π {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Étape 1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , placez $π$ en dehors de l’intégrale.

$π \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Étape 2

Développez ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(1 - x^{2})}^{2}$ comme $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (1 - x^{2}) d x$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{1} 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Étape 2.5

Déplacez $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Étape 2.6

Déplacez $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 2.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 2.11

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Étape 2.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Étape 2.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4} d x$

Étape 2.14

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - 2 x^{2} + x^{4} d x$

Étape 2.15

Remettez dans l’ordre $- 2 x^{2}$ et $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + x^{4} - 2 x^{2} d x$

Étape 2.16

Déplacez $1$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{2} + 1 d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ et $x]_{0}^{1}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5} + x$ sur $1$ et sur $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 10.2.3.6.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.9

Additionnez $\frac{6}{5}$ et $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 10.2.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 10.2.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 10.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 10.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 10.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 10.2.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0))$

Étape 10.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.14

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3}))$

Étape 10.2.3.15

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3})$

Étape 10.2.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$π (\frac{6}{5} - \frac{2}{3})$

Étape 10.2.3.17

Pour écrire $\frac{6}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 10.2.3.18

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 10.2.3.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.19.1

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 10.2.3.19.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 10.2.3.19.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Étape 10.2.3.19.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15})$

Étape 10.2.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π \frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Étape 10.2.3.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.21.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$π \frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Étape 10.2.3.21.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$π \frac{18 - 10}{15}$

Étape 10.2.3.21.3

Soustrayez $10$ de $18$ .

$π \frac{8}{15}$

Étape 10.2.3.22

Associez $π$ et $\frac{8}{15}$ .

$\frac{π \cdot 8}{15}$

Étape 10.2.3.23

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$\frac{8 π}{15}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8 π}{15}$

Forme décimale :

$1.67551608 \dots$

Étape 12