Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $- 1$ pour $θ$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{- lim_{θ \to - 1} 2 θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to - 1} θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $θ^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Étape 1.1.3.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $- 1$ pour $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $- 1$ pour $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.7.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{0}{- 2 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.7.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 4}$

Étape 1.1.3.7.2

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.1.3.7.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4} = lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $θ + 1$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 θ^{2} - 6 θ - 4$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 2 θ^{2}$ par rapport à $θ$ est $- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- 6 θ]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 6 θ$ par rapport à $θ$ est $- 6 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $- 4 θ - 6$ et $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{- lim_{θ \to - 1} 4 θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Étape 2.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 6}$

Étape 3

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $- 1$ pour $θ$ .

$\frac{1}{- 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4 - 1 \cdot 6}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{1}{4 - 6}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $6$ de $4$ .

$\frac{1}{- 2}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$