Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (2 x - 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$- \sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \sin (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \sin (2 x - 6) \cdot 2$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x - 6)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 x - 6)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$- 2 (\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.3.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + 0)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) \cdot 2$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x - 6)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \cos (2 x - 6)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$- 4 (- \sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 (\sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$4 \sin (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 3.3.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 + 0)$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$4 \sin (2 x - 6) \cdot 2$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f''' (x) = 8 \sin (2 x - 6)$