Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{x}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 2.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + 2 y$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $x$ .

$x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x + 2 y - \frac{1}{y^{2}}$