Calcul infinitésimal Exemples

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \frac{8}{x}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{x}$ .

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$V = \frac{64}{x^{2}}$

Étape 3

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , placez $64$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Déplacez $64$ à gauche de $π$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $5$ et sur $1$ .

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Étape 6.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

Étape 6.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

Étape 6.2.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

Étape 6.2.6

Associez $\frac{4}{5}$ et $64$ .

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

Étape 6.2.7

Multipliez $4$ par $64$ .

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

Étape 6.2.8

Associez $\frac{256}{5}$ et $π$ .

$V = \frac{256 π}{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{256 π}{5}$

Forme décimale :

$V = 160.84954386 \dots$

Étape 8