Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$6 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$6 x + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{3}$ .

$6 x + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$6 x + \frac{- 6}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{- 6}{3}$ et $x^{- 4}$ .

$6 x + \frac{- 6 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.6

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + \frac{- 6}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 1.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 x + \frac{- 2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.3

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{6}{3}$ et $x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.4.6.2.4

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - - x^{- 2}$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + 1 x^{- 2}$

Étape 1.5.4

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + x^{- 2}$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 x + 6 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 x + 6 - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x + 6 - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x + 6 - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.4.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 2.5.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 2.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 2.5.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + 8 x^{- 5}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 x^{- 5}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2.6.3

Associez des termes.

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Étape 2.6.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + 6 + \frac{- 2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2.6.3.3

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}}$

Étape 2.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$ .

$4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$