Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x + 3$ , $[2, 8]$ , $n = 3$

Étape 1

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{2}^{8} 2 x + 3 d x - \int_{2}^{8} 3 d x$

Étape 2

Intégrez pour déterminer l’aire entre $2$ et $8$ .

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Étape 2.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - (3) d x$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - 3 d x$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $2 x + 3 - 3$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

$\int_{2}^{8} 2 x d x$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{2}^{8} x d x$

Étape 2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{8})$

Étape 2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{8})$

Étape 2.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $8$ et sur $2$ .

$2 ((\frac{8^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez

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Étape 2.6.2.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{64}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 2.6.2.2.2

Annulez le facteur commun à $64$ et $2$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 2.6.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 2.6.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 2.6.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{32}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 2.6.2.2.2.2.4

Divisez $32$ par $1$ .

$2 (32 - \frac{2^{2}}{2})$

Étape 2.6.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (32 - \frac{4}{2})$

Étape 2.6.2.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.6.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Étape 2.6.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Étape 2.6.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Étape 2.6.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (32 - \frac{2}{1})$

Étape 2.6.2.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (32 - 1 \cdot 2)$

Étape 2.6.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (32 - 2)$

Étape 2.6.2.2.6

Soustrayez $2$ de $32$ .

$2 \cdot 30$

Étape 2.6.2.2.7

Multipliez $2$ par $30$ .

$60$

Étape 3