Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} (2 \sqrt{y} - y) d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} - y d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Étape 6

Associez $\frac{2}{3}$ et $y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} y d y$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.10

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.13

Additionnez $\frac{16}{3}$ et $0$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.14

Associez $2$ et $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.15

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.16

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.17

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.17.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 9.2.3.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

Étape 9.2.3.19

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 9.2.3.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

Étape 9.2.3.19.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

Étape 9.2.3.20

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

Étape 9.2.3.21

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

Étape 9.2.3.22

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Étape 9.2.3.23

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.2.3.24

Associez $- 8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Étape 9.2.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 9.2.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.26.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Étape 9.2.3.26.2

Soustrayez $24$ de $32$ .

$\frac{8}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{3}$

Forme décimale :

$2.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{2}{3}$

Étape 11