Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{4 \sin^{2} (x) - 4} d x$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $4 \sin^{2} (x)$ et $- 4$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 + 4 \sin^{2} (x)} d x$

Étape 1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1) + 4 \sin^{2} (x)} d x$

Étape 1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $4 \sin^{2} (x)$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))} d x$

Étape 1.4

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1 - \sin^{2} (x))} d x$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\int \frac{3 \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int \frac{6 \sin (x) \cos (x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{2 (- 2 \cos^{2} (x))} d x$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{2 (- 2 \cos^{2} (x))} d x$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{- 2 \cos^{2} (x)} d x$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{- 2 \cos^{2} (x)} d x$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) (- 2 \cos (x))} d x$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) (- 2 \cos (x))} d x$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{3 \sin (x)}{- 2 \cos (x)} d x$

Étape 5

Séparez les fractions.

$\int \frac{3}{- 2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Étape 6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\int \frac{3}{- 2} \tan (x) d x$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{3}{2} \tan (x) d x$

Étape 7.2

Associez $\tan (x)$ et $\frac{3}{2}$ .

$\int - \frac{\tan (x) \cdot 3}{2} d x$

Étape 7.3

Déplacez $3$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\int - \frac{3 \tan (x)}{2} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{3 \tan (x)}{2} d x$

Étape 9

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{3}{2} \int \tan (x) d x)$

Étape 10

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- \frac{3}{2} (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$- \frac{3}{2} \ln (| \sec (x) |) + C$