Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 3}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 - 0}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Étape 4.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 0}{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 6.3

Divisez $1$ par $1$ .

$1$