Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{1}$ .

$2 \int \frac{u_{1}}{2} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 3.3

Associez $\frac{u_{1}}{2}$ et $\sin (3 {u_{1}}^{2})$ .

$2 \int \frac{u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1})$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 5.3

Multipliez $\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$ par $1$ .

$\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 6 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{6} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $3 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 {u_{1}}^{2}]$

Étape 6.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $3 {u_{1}}^{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u_{1})$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 u_{1}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) \frac{1}{6} d u_{2}$

Étape 7

Associez $\sin (u_{2})$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{\sin (u_{2})}{6} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2}) + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2})) + C$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{2})}{6} + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 {u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {u_{1}}^{2})}{6} + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {(x^{2})}^{2})}{6} + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 12.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (3 x^{2 \cdot 2})}{6} + C$

Étape 12.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\cos (3 x^{4})}{6} + C$

Étape 12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{6} \cos (3 x^{4}) + C$