Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x (x - 4) (3 x + 5) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int (x (x - 4)) (3 x + 5) d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x + 5$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4) u \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Étape 3.2

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 12}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Étape 3.4.2

Soustrayez $12$ de $- 5$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $u$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int (\frac{u}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} + (- \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} + (- \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $\frac{u}{3}$ et $- 1$ .

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

Étape 4.8

Déplacez $\frac{5}{3}$ .

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{u}{3}$ par $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u \cdot u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.10

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$5 \int \frac{u^{1} u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.11

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$5 \int \frac{u^{1} u^{1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int \frac{u^{1 + 1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int \frac{u^{2}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.14

Multipliez $3$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{2}}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.15

Multipliez $\frac{u^{2}}{9}$ par $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{2} u}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.16

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$5 \int \frac{u^{2} u^{1}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int \frac{u^{2 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.18

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.19

Multipliez $9$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.20

Associez $- 1 \frac{u}{3}$ et $\frac{17}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u}{3} \cdot 17}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.21

Associez $\frac{u}{3}$ et $17$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3}}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.22

Multipliez $\frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3}}{3}$ par $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3} u}{3 \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.23

Associez $\frac{u \cdot 17}{3}$ et $u$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{3 \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.24

Multipliez $3$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.25

Associez $- \frac{5}{3}$ et $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.26

Multipliez $3$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.27

Associez $- \frac{5 u}{9}$ et $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u \cdot u}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.28

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 (u^{1} u)}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.29

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 (u^{1} u^{1})}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.30

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{1 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.31

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.32

Multipliez $9$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.33

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + 1 (\frac{5}{3}) \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.34

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{5}{3} \cdot \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Étape 4.35

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{17}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{5 \cdot 17}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} d u$

Étape 4.36

Multipliez $5$ par $17$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} d u$

Étape 4.37

Multipliez $3$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85}{9} \cdot \frac{u}{3} d u$

Étape 4.38

Multipliez $\frac{85}{9}$ par $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{9 \cdot 3} d u$

Étape 4.39

Multipliez $9$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Déplacez $17$ à gauche de $u$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 \cdot u \cdot u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 (u^{1} u)}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 (u^{1} u^{1})}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 u^{1 + 1}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 u^{2}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 \frac{17 u^{2}}{3}$ comme $- \frac{17 u^{2}}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- \frac{17 u^{2}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.7

Réécrivez $\frac{- \frac{17 u^{2}}{3}}{9}$ comme un produit.

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{3} \cdot \frac{1}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.8

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{17 u^{2}}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{9 \cdot 3} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 5.9

Multipliez $9$ par $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{27} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\int \frac{u^{3}}{27} d u + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{27}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{27}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{27} \int u^{3} d u + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{17}{27}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{17}{27}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{17}{27} \int u^{2} d u) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 13

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 15

Comme $\frac{5}{27}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{5}{27}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - (\frac{5}{27} \int u^{2} d u) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 17

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Étape 18

Comme $\frac{85}{27}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{85}{27}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} \int u d u)$

Étape 19

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} (\frac{u^{2}}{2} + C))$

Étape 20.2

Simplifiez

$5 (\frac{u^{4}}{108} - \frac{17 u^{3}}{81} - \frac{5 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Étape 20.3

Simplifiez

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Étape 20.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{u^{4}}{108} + \frac{- 17 u^{3} - 5 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Étape 20.3.2

Soustrayez $5 u^{3}$ de $- 17 u^{3}$ .

$5 (\frac{u^{4}}{108} + \frac{- 22 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Étape 20.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\frac{u^{4}}{108} - \frac{22 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Étape 21

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 5$ .

$5 (\frac{{(3 x + 5)}^{4}}{108} - \frac{22 {(3 x + 5)}^{3}}{81} + \frac{85 {(3 x + 5)}^{2}}{54}) + C$

Étape 22

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 (\frac{1}{108} {(3 x + 5)}^{4} - \frac{22}{81} {(3 x + 5)}^{3} + \frac{85}{54} {(3 x + 5)}^{2}) + C$