Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- \frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{5} x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 8 x + 4 (\frac{2}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.3.4

Associez $4$ et $\frac{2}{5}$ .

$- 8 x + \frac{4 \cdot 2}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.3.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.3.6

Associez $\frac{8}{5}$ et $x^{- 5}$ .

$- 8 x + \frac{8 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.3.7

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} (4 x^{3})$

Étape 1.4.3

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3}$

Étape 1.4.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8}{3} x^{3}$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{8}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8 x^{3}}{3}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.3

Associez $3$ et $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{24}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $24$ et $3$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $8 x^{2}$ par $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $\frac{8}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{5 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 2.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 2.4.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 2.4.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 2.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 2.4.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 6})$

Étape 2.4.8

Associez $- 5$ et $\frac{8}{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 5 \cdot 8}{5} x^{- 6}$

Étape 2.4.9

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5} x^{- 6}$

Étape 2.4.10

Associez $\frac{- 40}{5}$ et $x^{- 6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40 x^{- 6}}{5}$

Étape 2.4.11

Placez $x^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5 x^{6}}$

Étape 2.4.12

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $5$ .

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Étape 2.4.12.1

Factorisez $5$ à partir de $- 40$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Étape 2.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.12.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 (x^{6})}$

Étape 2.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Étape 2.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 8}{x^{6}}$

Étape 2.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 x^{2} - 8 - \frac{8}{x^{6}}$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 8 x^{2} - \frac{8}{x^{6}} - 8$