Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Étape 2

Prenez la dérivée de $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 5.2.3

Associez $3$ et $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 7.2.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

Étape 7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Réécrivez ${(3 x + 2)}^{2}$ comme $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

Étape 7.4.2

Développez $(3 x + 2) (3 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Étape 7.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Étape 7.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Étape 7.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Étape 7.4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Étape 7.4.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Étape 7.4.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Étape 7.4.3.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Étape 7.4.3.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Étape 7.4.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

Étape 7.4.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

Étape 7.4.4

Additionnez $- 3 x$ et $12 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

Étape 7.4.5

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

Étape 7.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

Étape 7.4.7

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2} + 9 x + 3$ .

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Étape 7.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

Étape 7.4.7.2

Factorisez $3$ à partir de $9 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

Étape 7.4.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Étape 7.4.7.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Étape 7.4.7.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$