Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 4$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Étape 1.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 4^{2} - 4$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 16 - 4$

Étape 1.5.2

Soustrayez $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 12$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 12$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{12}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $12$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{1})$

Étape 6.2.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0)$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} + 0)$

Étape 6.2.6

Additionnez $2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.7

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 12^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.8

Associez $\frac{2}{2}$ et $12^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6.2.9

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6.2.10

Divisez $12^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$12^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$12^{\frac{1}{2}}$

Forme décimale :

$3.46410161 \dots$

Étape 8