Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k^{2}}{k + 1}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$\frac{1^{2}}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Étape 2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Étape 2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Étape 2.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Étape 2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{3 + 1}$

Étape 2.1.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 2.2.8

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 2.2.9

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 3$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Étape 2.2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{6 + 16 + 9 \cdot 3}{12}$

Étape 2.4.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{6 + 16 + 27}{12}$

Étape 2.5

Additionnez $6$ et $16$ .

$\frac{22 + 27}{12}$

Étape 2.6

Additionnez $22$ et $27$ .

$\frac{49}{12}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{49}{12}$

Forme décimale :

$4.08\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{12}$