Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 6.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$