Calcul infinitésimal Exemples

$9 y^{2} - 16 x^{2} = 144$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 y^{2}}{144} - \frac{16 x^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\sqrt{25}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 4)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 4)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(0, 4), (0, - 4)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 5)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 5)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(0, 5), (0, - 5)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Étape 8.3.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{4}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{3^{2}}{5}$

Étape 9.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{4}{3} x + 0$

Étape 11

Simplifiez $\frac{4}{3} x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $\frac{4}{3} x$ et $0$ .

$y = \frac{4}{3} x$

Étape 11.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{3}$

Étape 12

Simplifiez $- \frac{4}{3} x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- \frac{4}{3} x$ et $0$ .

$y = - \frac{4}{3} x$

Étape 12.2

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3}$

Étape 12.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{4 x}{3}, y = - \frac{4 x}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(0, 4), (0, - 4)$

Foyers : $(0, 5), (0, - 5)$

Excentricité : $\frac{5}{4}$

Paramètre focal : $\frac{9}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{4 x}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3}$

Étape 15