Calcul infinitésimal Exemples

$\int x e^{- x} d x$

Étape 1

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u e^{u} d u$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Étape 4

Simplifiez

$u e^{u} - e^{u} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$