Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 5}^{5} \sqrt{5^{2} - x^{2}} d x$

Étape 1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int_{- 5}^{5} \sqrt{25 - x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 5 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 5 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ est positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $25$ à partir de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $25$ à partir de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.6

Réécrivez $25 \cos^{2} (t)$ comme ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 3.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 3.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , placez $25$ en dehors de l’intégrale.

$25 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$25 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{25}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - π$

Étape 10.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 10.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 10.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Étape 10.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Étape 14.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $- π$ .

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.3.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{25}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 14.3.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Étape 15.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Étape 15.1.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Étape 15.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Étape 15.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Étape 15.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 15.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{25}{2} (π + 0)$

Étape 15.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{25}{2} π$

Étape 15.3

Associez $\frac{25}{2}$ et $π$ .

$\frac{25 π}{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{25 π}{2}$

Forme décimale :

$39.26990816 \dots$

Étape 17