Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x^{2} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + 0)$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x)$

Étape 2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2} + 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + 1}$

Étape 3.2.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 + 1}$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 1}$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 2}$