Calcul infinitésimal Exemples

$\int (- \frac{4}{x^{3}} - \frac{8}{x^{5}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int - \frac{4}{x^{3}} - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 5.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 7.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (8 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 10.2

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 10.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 10.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 10.3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int x^{- 5} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Étape 12.1.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$\frac{2}{x^{2}} - 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$\frac{2}{x^{2}} + 8 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 12.3.2

Associez $8$ et $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{8}{4 x^{4}} + C$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 12.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 x^{4}} + C$

Étape 12.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 (x^{4})} + C$

Étape 12.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 x^{4}} + C$

Étape 12.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}} + C$