Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 - 3 x$ et $g (x) = 3 + x^{2}$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \cdot 1) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \cdot - 3 - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $3 + x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (2 x)}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} + (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 x)) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x + 6 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{- 9 + 3 x^{2} - 4 x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$