Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x + 4 y^{2}} = y$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 4 y^{2}}$ comme ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 4 y^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.6.2.2

Placez ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Étape 3.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Étape 3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Étape 3.6.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$ .

$(1 + 8 y y') \frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $1 + 8 y y'$ par $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y'$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = y'$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 8 y y' = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.1.4.1

Déplacez $y$ .

$1 + 8 y' y = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $8 y' y$ .

$8 y' y + 1 = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 y' y + 1 = 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$8 y' y + 1 - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Étape 6.3.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $8 y' y$ .

$2 y' (4 y) - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (4 y - 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Étape 6.3.4

Réécrivez $- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme $- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Étape 6.3.5

Divisez chaque terme dans $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ par $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ par $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 y$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.2.4

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 y$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.5.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.5.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$