Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} - x y^{2} + x^{3} = 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y^{3} - x y^{2} + x^{3}) = \frac{d}{d y} (5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - x y^{2} + x^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y^{2}$ .

$3 y^{2} - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} - (2 x y) - (y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x'$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$- y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Étape 5.2

Factorisez $x'$ à partir de $- y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $- y^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $x'$ à partir de $3 x^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2})$ .

$x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ par $- y^{2} + 3 x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ par $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2} + 2 x y$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + y (2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 3 y) + y (2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 3 y + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) - (- 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y) - (- 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $- (3 y - 2 x)$ comme $- 1 (3 y - 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) + 3 x^{2}}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) - (- 3 x^{2})}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - (- 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2} - 3 x^{2})}$

Étape 5.3.3.10

Réécrivez $- (y^{2} - 3 x^{2})$ comme $- 1 (y^{2} - 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Étape 5.3.3.11

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Étape 5.3.3.12

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$