Calcul infinitésimal Exemples

$4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Étape 1

Écrivez $4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 4 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 4 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{4 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{4 \cdot 1 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int \frac{4 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.4.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $1$ et $x^{2}$ .

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Divisez $4 x^{2} + 1$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 6.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$4 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 6.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$4$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 6.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Étape 6.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} + 0 + 4$

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Étape 6.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$3$

Étape 6.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 4 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$4 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$4 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 11.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 11.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$4 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$4 x - 3 \arctan (x) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $4 x - 3 \arctan (x) + C$